برای انجام تقسیم یک زاویه به سه قسمت مساوی فقط با استفاده از پرگار و خط‌کش ،باید مراحلی را بیان و اثبات کنم تا به موضوع چگونگی تقسیم زاویه به سه قسمت مساوی برسیم ،این مراحل عبارتند از ؛
۱) تقسیم زاویه یه دو قسمت مساوی ،یا همان رسم نیم ساز زاویه..
۲) توضیحی در باره زاویه مرکزی و محاطی.
۳ ) نحوه رسم تقسیم زاویه ۹۰ درجه به سه قسمت مساوی با استفاده فقط خط کش و پرگار.
۴) اثبات سه بخش شدن زاویه ۹۰ درجه و زاویه محاطی آن.
۵) نحوه ترسیم تقسیم زاویه به سه قسمت مساوی برای زاویه های کوچکتر ۹۰ درجه ، از ۹۰ تا ۱۸۰ درجه و از ۱۸۰ درجه تا ۲۷۰ درجه و تا ۳۶۰ درجه.
۶) بحث در تعداد تقسیم پذیری زاویه و یافتن فرمولی برای آن.
۷) آرایه روش کلی و جامع برای تقسیم زاویه به هر تعداد و به هر نسبت مورد انتظار.
۱= در این مرحله رسم نیمساز زاویه را نشان میدهیم ،ابتدا یک زاویه دلخواه BCD رسم میکنیم که نقطه C رأس این زاویه باشد سپس نوک پرگار را روی نقطه C گذاشته ویک کمان به شعاع دلخواه رسم میکنیم ، این کمان دو ضلع زاویه را در نقاط E و H قطع می‌کند ،سپس نوک پرگار را یک بار روی نقطه E و بار دیگر روی نقطه H گذاشته و دو کمان به شعاع دلخواه رسم میکنیم که از نصف پاره خط EH بزرگتر و از طول پاره خط EH کوتاهتر باشد محل برخورد این دو قوس را به رأس زاویه وصل میکنیم که بدین ترتیب خط حاصل نیمساز زاویه خواهد بود.
۲= زاویه مرکزی زاویه‌ای است که راس آن مرکز دایره و اضلاع آن دو شعاع از دایره می‌باشد و دو نقطه بر روی محیط دایره را به عنوان کمانی آز آن دایره نشان میدهد. حال اگر این دو نقطه با دو وتر به نقطه ای در روی محیط دایره ،غیر از نقاط روی کمان زاویه مرکزی وصل شود یک زاویه محاطی را می‌سازد و اندازه این زاویه نصف اندازه زاویه مرکزی است.
در شکل ذیل یک زاویه مرکزی ۹۰ درجه روی دایره ای به مرکز A رسم کرده‌ایم و زاویه محاطی مربوط به آن را نیز رسم کرده ایم ،که رأس آن نقطه j روی محیط دایره است، با امتداد خط AJ به نقطه L میرسیم که فاصله آن از نقطه J به اندازه ۲√ برابر شعاع دایره است و اندازه زاویه آن نصف زاویه محاطی J است . حال اگر نقطه J از رأس نقطه زاویه مرکزی یعنی از نقطه A شروع به حرکت کند و به سمت چپ برود میتواند زاویه های کمتر از نود درجه را بسازد تا به نقطه J که روی دایره است برسد و زاویه های از ۸۹ درجه تا ۴۵ درجه را تشکیل دهد و اگر همچنان ادامه دهیم تا به نقطه L برسیم میتوانیم تا زاویه نصف ۴۵ درجه یعنی زاویه ۲۲/۵ درجه را نیز بسازیم و مراحل بدست آوردن ثلث این زاویه ها مشابه هم می‌باشد که در مرحله بعد اثبات میشود.
۳= در این مرحله می‌خواهیم زاویه ۹۰ درجه را به سه قسمت مساوی تقسیم کنیم ،روش کار به این صورت است که ابتدا نوک پرگار را در راس زاویه ۹۰ درجه گذاشته و یک کمان دلخواه رسم میکنیم ،سپس رأس پرگار را بدون اینکه در شعاع آن تغییر بدهیم ، یک بار روی نقطه C و بار دیگر روی نقطه D گذاشته و با همان شعاع قوس‌های رسم میکنیم که گمان اولیه را در نقاط E و H قطع می‌کند و اگر از آن نقاط یه رأس A وصل کنیم ، پاره خط های AH و AE زاویه DAC را به سه قسمت مساوی تقسیم می‌کند.
و اگر نقاط E و H را به رأس زاویه محاطی نقطه J وصل کنیم این زاویه نیز به سه قسمت مساوی تقسیم میشود.
۴= اثبات مثلث AED را در نظر بگیرید با توجه به اینکه اندازه هر ضلع آن به اندازه طول شعاع دایره می‌باشد ،پس متساوی الاضلا می‌باشد در نتیجه دارای سه زاویه داخلی مساوی می‌باشد و چون مجموع زوایای داخلی هر مثلث ۱۸۰ درجه است پس هر زاویه ۶۰ درجه می‌باشد ،حال زاویه A را در جهت خلاف حرکت عقربه های ساعت به ترتیب A اندیس ۱و۲و۳ مینامیم که جمعا ۹۰ درجه است و از آنجایی که زاویه A اندیس ۱و۲ باهم ۶۰ درجه می‌باشند ،پس زاویه A اندیس ۳ باید ۳۰ درجه باشد ، و همین استدلال را برای مثلث AHC تکرار میکنیم و نتیجه میگیریم که زاویه A اندیس ۱ نیز ۳۰ درجه است و بنابر این زاویهA اندیس ۲ نیز ۳۰ درجه خواهد بود. و به همین ترتیب میتوانیم با در نظر گرفته دو مثلث AHJ و مثلث AEJ که هر دو متساوی الساقین می‌باشند و زادیه محاطی نظیر زاویه مرکزی خود هستند بنابراین اندازه زاویه های J اندیس ۱و۲و۳ هرکدام ۱۵ درجه خواهد بود
۵= روش رسم تقسیم زاویه به سه قسمت مساوی ، در این روش زاویه کمتر ۹۰ درجه در نظر گرفته می شود ، و برای زاویه های بزرگتر از ۹۰ درجه ابتدا آن زاویه را به دو قسمت تقسیم میکنیم و سپس هر قسمت را به سه قسمت تقسیم میکنیم و آنگاه هر دو زاویه کنار هم را با هم یک زاویه در نظر گرفته و زاویه بزرگتر از ۹۰ درجه را به این روش به سه قسمت تقسیم میکنیم ، و برای زاویه های بزرگتر از ۱۸۰ درجه تا کمتر از ۳۶۰ درجه باید دو با تقسیم دو تای زاویه را انجام دهیم و بعد هر بخش را به سه قسمت تقسیم میکنیم که مجموع آنها ۱۲ زاویه میشود و هر چهار راویه مجاور هم را با هم ادغام نموده که سه زاویه مساوی بدست آید .
۶= حال راه تقسیم یک زاویه حاده به سه قسمت مساوی را شرح میدهیم .
ابتدا زاویه حاده ABC را که نقطه B رأس آن است رسم میکنیم ،سپس یک نقطه دلخواه مانند D روی یک ضلع آن اختیار میکنیم و آز آن نقطه عمودی خارج میکنیم که ضلع دیگر زاویه را در نقطه E قطع کند ، آنگاه دایره ای به مرکز. نقطه D و شعاع DE رسم میکنیم که ضلع دیگر زاویه را در نقطه G قطع کند ،سپس با همین شعاع پرگار دو کمان رسم میکنیم که قوس EG را در نقاط J و k قطع می‌کند ، این نقاط را به رأس زاویه یعنی نقطه B وصل میکنیم در نتیجه زاویه B به سه قسمت مساوی تقسیم میشود.
نتیجه گیری: امکان قابلیت تقسیم مساوی زاویه به چه تعدادی میسر است؟.
اگر یک زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم کنیم و سپس هر قسمت را مجدداً به دو قسمت مساوی تقسیم کنیم و دوباره اینکار را انجام دهیم و.... آنگاه میتوانیم زاویه را به ۲و ۴و ۸و ۱۶ و.... تعداد تقسیم کنیم یعنی یه ۲ به توان n مرتبه تقسیم را انجام دهیم ، و حال که توانستیم زاویه را به سه قسمت مساوی تقسیم کنیم و این روند را نیز ادامه دهیم یعنی ما میتوانیم یک زاویه را به ۳ و۹ و۲۷و ..... یعنی ۳ به توان n مرتبه نیز به تعداد مساوی تقسیم کنیم ، و چنانچه بخواهیم میتوانیم به تعداد دلخواه به دو قسمت مساوی تقسیم کنیم و یا به سه قسمت مساوی تقسیم کنیم ، یعنی به تعداد حاصل ضرب ۲ به توان n ضربدر ۳ به توان n تقسیم کنیم ، بنابراین به تعدادی غیر از این نمی‌توان تقسیم کرد مگر اینکه ما برای تقسیم زاویه به تعداد اعداد اول بعد از عدد ۳ یعنی اعداد ۵و ۷و ۱۱و۱۳و ۱۷و.... راه برای رسم پیدا کنیم .
۷ = ارائه روش کلی برای تقسیم زاویه به هر تعداد دلخواه ،البته ما در اینجا روش تقسیم بر پنج قسمت مساوی را شرح میدهیم و سایر اعداد اول و تقسیمات از همین روش تبعیت می‌کند ،
ابتدا زاویه ABC را به دلخواه رسم میکنیم
سپس بر روی ضلع BC از یک نقطه دلخواه عمودی اخراج میکنیم.
